Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1).

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁,a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n.

Answer 1

解：(1)由a_n+1=2S_n+1，可得a_n=2S_n-1+1(n≥2),两式相减得

a_n+1-a_n=2a_n,a_n+1=3a_n(n≥2).

    又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁.

    故{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列，∴a_n=3^n-1.

(2)设{b_n}的公差为d，

    由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，

    故可设b₁=5-d，b₃=5+d.

    又a₁=1,a₂=3,a₃=9，

    由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)².

    解得d₁=2,d₂=-10.

∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0.∴d=2.

T_n=3n+×2=n²+2n.