Question

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（1）当，对函数求导，结合导数可求函数f（x）的单调递增区间
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，利用导数的几何意义可得切线MP的方程，由过（1，0）可，代入可得x₁，x₂满足x²+2tx-t=0．由方程的思想可得，代入可求
解答：解：（1）当，--------（2分）

解得或--------（4分）
则函数f（x）有单调递增区间为--------（5分）
（2）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵
∴切线MP的方程为
∴…（8分）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴（*）

把（*）式代入，得，
因此，函数g（t）=--------------（15分）
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间，及导数的几何意义：导数在某点处的导数值即为改点的切线的斜率的应用．