Question

（2011•武汉模拟）已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c为非零常数，n∈N^*），a₁、a₂、a₃组成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，求证Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，由a₁，a₂，a₃成等比数列，能求出c的值．
（Ⅱ）当n≥2时，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c，所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），

1

an

=

1

n2-n+2

．由此能够证明Sn＜

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不合题意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）当n≥2时，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=

n(n-1)

2

c，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
当n=1时，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴

1

an

=

1

n2-n+2

．
当n-1时，S1=

1

a1

=

1

2

＜

3

2

，
当n≥2时，由

1

an

=

1

n2-n+2

=

1

n(n-1)+2

＜

1

n(n+1)

，
得Sn=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+ 

1

an

=

1

2

+

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=

3

2

-

1

n

＜

3

2

，
∴Sn＜

3

2

．

点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．