Question

（2013•湖州二模）已知函数f（x）=x|x-a|-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在区间[1，e]上的最值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．（注：e是自然对数的底数，约等于2.71828）

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时判断f′（x）在[2，e]，[1，2]上的符号，从而得知函数的单调性，进而求极值，再与端点处函数值作比较，可得函数最值；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≥0，得|x-a|≥

lnx

x

   （*）．分0＜x＜1，x≥1两种情况进行讨论：当0＜x＜1时易判断；当x≥1时，再按a≤1，a＞1两种情况讨论，分离出参数a后转化为函数最值可解；

解答：解：（Ⅰ） 若a=2，则f（x）=x|x-2|-lnx．
当x∈[2，e]时，f（x）=x²-2x-lnx，f′(x)=2x-2-

1

x

=

2x2-2x-1

x

＞0，
所以函数f（x）在[2，e]上单调递增；
当x∈[1，2]时，f（x）=-x²+2x-lnx，f′(x)=-2x+2-

1

x

=

-2x2+2x-1

x

＜0．
所以函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
所以f（x）在区间[1，2]上有最小值f（2）=-ln2，
又因为f（1）=1，f（e）=e（e-2）-1，而e（e-2）-1＜1，
所以f（x）在区间[1，e]上有最大值f（1）=1．
（Ⅱ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
由f（x）≥0，得|x-a|≥

lnx

x

．   （*）
（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x-a|≥0，

lnx

x

＜0，
不等式（*）恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）当x≥1时，
①当a≤1时，由|x-a|≥

lnx

x

得x-a≥

lnx

x

，即a≤x-

lnx

x

，
现令h(x)=x-

lnx

x

，则h′(x)=

x2-1+lnx

x2

，
因为x≥1，所以h'（x）≥0，故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
从而h（x）的最小值为1，因为a≤x-

lnx

x

恒成立等价于a≤h（x）_min，
所以a≤1；
②当a＞1时，|x-a|的最小值为0，而

lnx

x

＞0(x＞1)，显然不满足题意．
综上可得，满足条件的a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生解决问题的能力．