Question

已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）对参数a进行讨论，分一次函数、二次函数，确定函数的单调性；
（2）配方，确定函数对称轴与区间的关系，即可得到M（a）的表达式，然后确定N（a）=f（

1

a

），即可求得g（a）的表达式．

解答：解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上为减函数
当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在（-∞，

1

a

）上为减函数，在（

1

a

，+∞）上为增函数
当a＜0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向下，对称轴为x=

1

a

∴函数f（x）在（-∞，

1

a

）上为增函数，在（

1

a

，+∞）上为减函数
（2）∵f（x）=a（x-

1

a

）2+1-

1

a

，
又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3
当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，M（a）=f（3）=9a-5，
当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，M（a）=f（1）=a-1，
∴即

1

3

≤a≤

1

2

M（a）=

9a-5， 1 2 ＜a≤1 a-1， 1 3 ≤a≤ 1 2

∵

1

3

≤a≤1
∴1≤

1

a

≤3
∴N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

当1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1时，g（a）=M（a）-N（a）=9a-6+

1

a

当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

时，g（a）=M（a）-N（a）=a-2+

1

a

点评：本题考查函数的单调性，考查二次函数在指定区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．