题目内容
设函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
解：显然f（x）的定义域为R．
（1）f'（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得
（4分）
即
（5分）
解得
（7分）
（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（ex-1-1）．（8分）
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分）
从上表可知：函数f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．（14分）
分析：（1）根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；
（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）随x的变化情况，从而求出函数的单调性．
点评：本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．
（1）f'（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得
（4分）即
（5分）解得
（7分）（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（ex-1-1）．（8分）
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分）
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
分析：（1）根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；
（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）随x的变化情况，从而求出函数的单调性．
点评：本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．
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