题目内容
若a3+b3=2,求证:a+b≤2.
思路分析：本题结论的反面比原结论更具体,更简洁,宜用反证法.
证法一：假设a+b＞2,a2-ab+b2=(a
b)2+
b2≥0.
而取等号的条件为a=b=0，显然不可能，∴a2-ab+b2＞0.则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)＞2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2＜1.
∴1+ab＞a2+b2≥2ab.从而ab＜1.
∴a2+b2＜1+ab＜2.
∴(a+b)2=a2+b2+2ab＜2+2ab＜4.
∴a+b＜2.
这与假设矛盾,故a+b≤2.
证法二:假设a+b＞2,则a＞2-b,故2=a3+b3＞(2-b)3+b3,即2＞8-12b+6b2,即(b-1)2＜0,这不可能,从而a+b≤2.
证法三:假设a+b＞2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)＞8.
由a3+b3=2,得3ab(a+b)＞6.故ab(a+b)＞2.
又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2,
∴ab(a+b)＞(a+b)(a2-ab+b2).
∴a2-ab+b2＜ab,即(a-b)2＜0.
这不可能，故a+b≤2.
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