题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的上顶点坐标为(0，
)，离心率为
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求
•
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| PA |
| PF |
分析：（I）根据已知条件分别求出a，b，c的值，从而确定椭圆方程．
（II）根据题意，设P（x，y）根据椭圆的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入
•
中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得
•
=
x2+x+1，由x的范围，可得答案．
（II）根据题意，设P（x，y）根据椭圆的方程，易得A1、F2的坐标，将其代入
| PA |
| PF |
| PA |
| PF |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（1）设椭圆C的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
由已知b=
，
=
，
所以a=2， b=
， c=1，
得椭圆的方程为
+
=1．
（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则
=(-2-x，-y)，
=(1-x，-y)，
∴
•
=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=
x2+x+1(-2≤x≤2)．
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴
•
∈[0，4]
解：（1）设椭圆C的方程为| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由已知b=
| 3 |
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
所以a=2， b=
| 3 |
得椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设P（x，y），
又A（-2，0），F（1，0），则
| PA |
| PF |
∴
| PA |
| PF |
=x2+x-2+y2=
| 1 |
| 4 |
当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
∴
| PA |
| PF |
点评：本题考查椭圆方程的应用、平面向量数量积的运算等，涉及最值问题．最值问题解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．
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