Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（1）若a_n=log₂b_n+3，求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若

a

2 1

+a2+a3+…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃可求b₁，b₃，进而可求公比q，代入等比数列的通项公式；由a_n=log₂b_n+3=n+2，要证明数列{a_n}是等差数列，只要证明a_n+1-a_n=d（d为常数）；
（2）根据等差数列的前n项和公式得出

a

2 1

+a2+a3+…+a_m=9+

(4+m+2)(m-1)

2

≤48，解出m范围即可得出答案．

解答：解：（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃
∴b₁=1，b₃=4
∴q=2
∴bn=2n-1
∵a_n=log₂b_n+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2
所以数列{a_n}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得

a

2 1

+a2+a3+…+a_m=9+

(a2+am)(m-1)

2

≤48

即9+

(4+m+2)(m-1)

2

≤48
整理得m²+5m-84≤0
解得：-12≤m≤7
∵m∈N^*
∴m_max=7

点评：本题主要考查了等比数列的通项 公式及等差数列的定义在证明等差数列中的应用，属于中档题．