Question

设直线kx-y+1=0被圆

x=2cosθ y=2sinθ

(θ为参数）所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定

Answer 1

分析：圆

x=2cosθ y=2sinθ

(θ为参数）的普通方程为x²+y²=4，设C上任意一点的坐标为A（x，y），由

y-0

x-0

×k=-1，求出k后代入直线kx-y+1=0求得曲线C的方程，由圆心（0，

1

2

）到直线x+y-1=0的距离小于半径得到曲线C与直线x+y-1=0相交．

解答：解：圆

x=2cosθ y=2sinθ

(θ为参数）的普通方程为x²+y²=4，
弦的中点的轨迹为C，设C上任意一点的坐标为A（ x，y ），则由弦的性质得 OA垂直于直线kx-y+1=0，
∴

y-0

x-0

×k=-1，即 k=

-x

y

．又点A（ x，y ）还在直线kx-y+1=0上，
∴

-x

y

•x-y+1=0，x²+（y-

1

2

）2=

1

4

，
故曲线C表示以（0，

1

2

）为圆心，以

1

2

为半径的圆．
∵圆心（0，

1

2

）到直线x+y-1=0的距离等于

|0+ 1 2 -1|

2

=

2

4

＜

1

2

（半径），
故曲线C与直线x+y-1=0相交，
故选A．

点评：本题考查求点的轨迹方程的求法，直线和圆相交的性质，求曲线C的轨迹方程是解题的关键．