Question

已知函数f(x)=sin(x-

1

4

π)+cos(x-

3

4

π)，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos(β-a)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，(0＜α＜β≤

π

2

)，求证：[f（β）]²-2=0．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式可将f（x）=sin（x-

π

4

）+cos（x-

π

4

-

π

2

）化简为f（x）=2sin（x-

π

4

），从而可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）依题意，可求得β=

π

2

，从而可求：[f（β）]²的值，继而可证：[f（β）]²-2=0．

解答：解：（1）∵f（x）=sin（x-

π

4

）+cos（x-

π

4

-

π

2

）
=sin（x-

π

4

）+sin（x-

π

4

）
=2sin（x-

π

4

），…（4分）
∴T=2π，f（x）的最小值为-2．…（6分）
（2）证明：由已知得cosβcosα+sinβsinα=

4

5

，
cosβcosα-sinβsinα=-

4

5

，（0＜α＜β≤

π

2

），
两式相加得2cosβcosα=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴β=

π

2

，
∴[f（β）]²=4sin2

π

4

=2，
∴[f（β）]²-2=4sin2

π

4

-2=0…（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的周期及其求法，属于中档题．