题目内容
设椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
分析：（1）利用
⊥
，求出Q的坐标，利用2
+
=
，可得F1为F2Q中点，结合|F1F2|=2，从而可求几何量，即可得到椭圆C的方程；
（2）设出l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即(
+
)•
=0，即可求得m的取值范围．
| F2A |
| AQ |
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
（2）设出l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即(
| PM |
| PN |
| MN |
解答：解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知
=（-c，b），
=（x0，-b），
∵
⊥
，∴-cx0-b2=0，
∴x0=-
，
∵2
+
=
，∴F1为F2Q中点，
∴-
+c=-2c，∴b2=3c2=a2-c2
∵|F1F2|=2，∴c=1，∴b=
，a=2
∴所求椭圆方程为
+
=1 …6分
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1）
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0…8分
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，
+
=（x1+x2-2m，y1+y2）
∵菱形对角线垂直，∴(
+
)•
=0
即
×k=-1 …11分
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（
-2）+
-2m=0，
由已知条件知k≠0且k∈R，∴m=
=
，∴0＜m＜
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜
．…14分
| F2A |
| AQ |
∵
| F2A |
| AQ |
∴x0=-
| b2 |
| c |
∵2
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
∴-
| b2 |
| c |
∵|F1F2|=2，∴c=1，∴b=
| 3 |
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1）
代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0…8分
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| PM |
| PN |
∵菱形对角线垂直，∴(
| PM |
| PN |
| MN |
即
| y1+y2 |
| x1+x2-2m |
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
由已知条件知k≠0且k∈R，∴m=
| k2 |
| 3+4k2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 4 |
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
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