Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝(n+1)²+c，探究{a_n}是等差数列的充要条件.

Answer 1

{a_n}为等差数列的充要条件是c＝－1
主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法。
解　当{a_n}是等差数列时，∵S_n＝(n＋1)²＋c，
∴当n≥2时，S_n－1＝n²＋c，
∴a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，
∴a_n＋1－a_n＝2为常数．
又a₁＝S₁＝4＋c，
∴a₂－a₁＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{a_n}是等差数列，∴a₂－a₁＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S_n＝n²＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{a_n}为等差数列的充要条件是c＝－1.