Question

已知函数f(x)=

(a-2)x，x≥2 2x-1，x＜2

满足对任意实数x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A．[

  7

  2

  ，+∞)
• B．(

  7

  2

  ，+∞)
• C．[2，+∞）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：根据函数f（x）对任意实数x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，可以判定函数f（x）为单调递增函数，则分段函数的每一段都必须是单调递增函数，并且在两段的分界点处，左段的函数值要小于等于右段的函数值，列出不等式组，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）对任意实数x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
则f（x₁）-f（x₂）与x₁-x₂同号，根据函数单调性的定义可知，函数f（x）为R上的单调递增函数，
∵f(x)=

(a-2)x，x≥2 2x-1，x＜2

，
∴当x＜2时，f（x）=2^x-1为单调递增函数，
当x≥2时，f（x）=（a-2）x为单调递增函数，且两段的分界点处，左段的函数值要小于等于右段的函数值，
∴

a-2＞0 22-1≤(a-2)×2

，即

a＞2 a≥ 7 2

，
解得a≥

7

2

，
∴实数a的取值范围为[

7

2

，+∞）．
故选A．

点评：本题考查了函数单调性的性质，根据函数单调性的定义判断函数的单调性．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．