Question

已知函数f(x)=（a、b、c均为整数）是奇函数，f(1)=2，f(2)<3，求：

（1）f(x)的解析式；（2）f(x)的单调区间.

Answer 1

解：（1）∵ f(x)是奇函数，∴ f(-x)=-f(x)，即=-.

化简整理，得-bx+c=-bx-c，∴ c=0，∴ f(x)=.

∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1.

∵ f(2)<3，∴ <3，即<3，

解得-1<a<2.

又∵ a是整数，∴ a=0或a=1.

当a=0时，b=，不符合题意，舍去；

当a=1时，b=1，∴ f(x)=.

（2）由（1）知，f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

当x∈(0,+∞)时，任取,∈(0,+∞)，且，

 -).

∵ >0，>0，∴ 当,∈［1,+∞)时有>1.

∴ ，即).

∴ f(x)在［1,+∞)上单调递增.

当,∈(0,1］时，<1，∴

∴ f(x)在(0,1］上单调递减.

由奇函数的性质知，(-∞,-1］为f(x)的增区间，［-1,0)为f(x)的减区间，

∴ f(x)=的单调增区间是(-∞,-1］和［1,+∞)，单调减区间是(0,1］和［-1,0).