Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n-5a_n-85，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 令bn=log

5

6

1-a1

18

+log

5

6

1-a2

18

+…+log

5

6

1-an

18

，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用S_n=n-5a_n-85，S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，两式相减得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，化为an+1-1=

5

6

(an-1)，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算可得log

5

6

1-an

18

=log

5

6

(

5

6

)n=n，利用等差数列的前n项和公式即可得出b_n，再利用“裂项求和”即可得出T_n．

解答：解：（Ⅰ） 当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁-85，解得a₁=-14．
∵S_n=n-5a_n-85，S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85，
∴两式相减得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即an+1-1=

5

6

(an-1)，
从而{a_n-1}为等比数列，首项a₁-1=-15，公比为

5

6

．
∴an-1=-15•(

5

6

)n-1，
即an=-15×(

5

6

)n-1+1．
∴{a_n}的通项公式为an=-15×(

5

6

)n-1+1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知

1-an

18

=(

5

6

)n，
∴log

5

6

1-an

18

=log

5

6

(

5

6

)n=n，
∴b_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

．

点评：本题中考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和公式、“裂项求和”、对数运算等基础知识与基本方法，属于中档题．