Question

15．如果函数y=x+$\frac{2^b}{x}（{x≥4}）$的最小值为6，求b的值．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．

解答 解：y′=1-$\frac{{2}^{b}}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}{-2}^{b}}{{x}^{2}}$，
令y′＞0，解得：x＞$\sqrt{{2}^{b}}$，
令y′＜0，解得：x＜$\sqrt{{2}^{b}}$，
∴函数在（0，$\sqrt{{2}^{b}}$）递减，在（$\sqrt{{2}^{b}}$，+∞）递增，
∴函数在x=$\sqrt{{2}^{b}}$时取得最小值，
∴$\sqrt{{2}^{b}}$+$\frac{{2}^{b}}{\sqrt{{2}^{b}}}$=6，解得：2^b=9，
代入函数的不表达式得：x=3，
∵x≥4，不合题意，
∴x=4时，函数值最小，
此时：4+$\frac{{2}^{b}}{4}$=6，解得：b=3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．