题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
．
【答案】分析：（I）利用an=sn-sn-1（n≥2）可得an-an-1=4，结合等差数列的通项公式可求an
（II）由（I）及已知所求和的特点，考虑利用裂项可先求出左边的和，即可证明
解答：解：（Ⅰ）依题意
两式相减得
所以（1-n）an=-（n-1）an-1-4（n-1）
因为n≥2，n∈N*，所以1-n≠0，
两边同除以（1-n）可得，
所以{an}是以a1=1为首项，公差为4的等差数列
所以an=a1+（n-1）d=4n-3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
所以
=
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解等差数列的 通项公式及裂项求和在求解数列和及不等式的证明中的应用．
（II）由（I）及已知所求和的特点，考虑利用裂项可先求出左边的和，即可证明
解答：解：（Ⅰ）依题意
两式相减得
所以（1-n）an=-（n-1）an-1-4（n-1）
因为n≥2，n∈N*，所以1-n≠0，
两边同除以（1-n）可得，
所以{an}是以a1=1为首项，公差为4的等差数列
所以an=a1+（n-1）d=4n-3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
所以
=
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解等差数列的 通项公式及裂项求和在求解数列和及不等式的证明中的应用．
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