题目内容

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a= $数学公式$ ，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

解：（Ⅰ）由题意可得 $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0．
∴sinC-2sinCcosA=0，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，
∴△ABC中，A= $\text{[math]}$ ． …（6分）
（Ⅱ）由a= $\text{[math]}$ ，角B的大小为x，A= $\text{[math]}$ 及正弦定理 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，可得 $\text{[math]}$ ，
∴三角形的周长 y=2sinx+2sin（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
由于0＜x＜ $\text{[math]}$ ，∴x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴当 x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 x= $\text{[math]}$ 时，y_max=3 $\text{[math]}$ ． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用两个向量垂直的性质可得 $\text{[math]}$ =0，由此可得cosA= $\text{[math]}$ ，从而求得角A的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理可得 $\text{[math]}$ 可得 y=2 $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．再根据x的范围求出y的最大值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，两个向量垂直的性质，属于中档题．