Question

（2013•茂名一模）已知x、y满足约束条件

x+y≤3 x-y≥-1 y≥1

若0≤ax+by≤2，则

b+2

a+1

的取值范围为（　　）

A．[0，1]

B．[1，10]

C．[1，3]

D．[2，3]

Answer 1

分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）．因为不等式0≤ax+by≤2对约束条件的所有x、y都成立，所以可得关于a、b的不等式组成立，在aob坐标系内作出相应的平面区域并利用P（-1，-2）、Q（a，b）两点连线的斜率，即可得到

b+2

a+1

的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x+y≤3 x-y≥-1 y≥1

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，1），B（2，1），C（1，2）
∵不等式0≤ax+by≤2对于约束条件的所有x、y都成立
∴记F（x，y）=ax+by，可得

F(0，1)=b∈[0，2] F(2，1)=2a+b∈[0，2] F(1，2)=a+2b∈[0，2]

即

0≤b≤2 0≤2a+b≤2 0≤a+2b≤2

，在aob坐标系中作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的四边形MKNO及其内部，
其中M（1，0），K（

2

3

，

2

3

），N（-

2

3

，

4

3

），O是坐标原点
而k=

b+2

a+1

表示点P（-1，-2）与Q（a，b）连线的斜率，
点Q是四边形MKNO内部或边界一点
运动点Q可得：当Q与M重合时，k达到最小值，k_min=

0+2

1+1

=1
当Q与N重合量，k达到最大值，k_max=

4 3 +2

- 2 3 +1

=10
∴

b+2

a+1

的取值范围为[1，10]
故答案为：[1，10]

点评：本题给出二元一次不等式组，在0≤ax+by≤2恒成立的情况下，求

b+2

a+1

的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识，属于基础题．