Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．
（1）证明f（x）在（0，1）上为减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在R上有实数解．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f（x）的值域即可．
解答：解：（1）证明：设，
==…（3分）
∵，∴
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上为减函数．…（4分）
（2）若x∈（-1，0）∴-x∈（0，1），∴，
又∵f（x）为奇函数，∴∴…（6分）
又∵f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1）∴f（1）=f（-1）=0
∴…（8分）
（3）若x∈（0，1），∴
又∵，∴，…（10分）

若x∈（-1，0），∴∴，
∴λ的取值范围是．…12 分
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用和证明，要求熟练掌握函数性质的综合应用．