题目内容

设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，
AF
=2
FB
．则椭圆C的离心率为
2
3
2
3
．
分析：设椭圆的左准线为l，设A、B两点在l上的射影分别为C、D，连接AC、BD，过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义，再结合直角△ABG中，∠BAG=60°，可求出边之间的长度之比，可得离心率的值．
解答：解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：e=
AF
AC
=
BF
BD
，
∵|
AF
|=2|
FB
|
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=
1
2
AC…②
①、②比较，可得AB=AC，
又∵AF=
2
3
AB
∴e=
AF
AC
=
AF
AB
=
2
3

所求的离心率为
2
3
．
故答案为：
2
3
．
点评：本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系．本题运用圆锥曲线的统一定义，结合解含有60°的直角三角形，求椭圆的离心率，属于几何方法，
练习册系列答案
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设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

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