Question

2．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$．
（1）设A（$\sqrt{5}$，0），F₁，F₂分别是曲线C的上，下焦点，求经过点F₁且垂直于直线AF₂的直线m的参数方程．
（2）已知点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），设直线l与曲线C的两个交点为M，N，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用sin²φ+cos²φ=1，可得直角坐标方程，可得F₁，F₂．可得${k}_{A{F}_{2}}$，可得直线AF₂的直线m的斜率，即可得出经过点F₁且垂直于直线AF₂的直线m的参数方程．
（2）点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标P$（0，\sqrt{3}）$．直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展开为2ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．可得参数方程．代入椭圆方程利用|PM|•|PN|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}cosφ}\\{y=\sqrt{15}sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1，可得F₁（0，$\sqrt{10}$），F₂（0，-$\sqrt{10}$）．
∴${k}_{A{F}_{2}}$=$\sqrt{2}$，∴直线AF₂的直线m的斜率为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴经过点F₁且垂直于直线AF₂的直线m的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\sqrt{10}+\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$．（t为参数）．
（2）点P的极坐标为（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标P$（0，\sqrt{3}）$．
直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展开为2ρ$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，化为$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}$．
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
代入椭圆方程可得：t²-2t-8=0，
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=8．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用、直线与椭圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．