Question

已知，且（1-2x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，将按排列、组合公式展开化简可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、组合数的定义，可得n的范围，即可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a=1，两式相减可得答案．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，
由得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•
即（n-5）（n-6）=90
解之得：n=15或n=-4（舍去）．
∴n=15．
（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x）¹⁵=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，
令x=0得：a=1，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
点评：本题考查二项式定理的应用、二项式系数的性质，解题时要注意排列、组合数的定义、性质，其次注意灵活运用赋值法．