题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）设向量 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinAcosB=sinA．（3分）
又在△ABC中，A，B∈（0，π），
所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （6分）
（2）∵ $\text{[math]}$ =6sinA+cos2A=-2sin²A+6sinA+1，
∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以sinA∈（0，1]．（10分）
所以当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为5．（12分）
分析：（1）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小；
（2）设向量 $\text{[math]}$ ，直接化简 $\text{[math]}$ ，通过配方求出表达式，在 $\text{[math]}$ 取得的最大值，即可．
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，向量的数量积，三角函数值的求法，考查计算能力，常考题型．

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