Question

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．
∴C，D，F，E四点共圆．（5分）
（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH²=GC•GD．
由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．∴

GC

GF

=

GF

GD

，即GC•GD=GE•GF，
∴CH²=GE•GF．（10分）