Question

已知函数f（x）定义在自然数集上，且对任意x∈N^*都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（1）=1999，求f（1999）的值．

Answer 1

分析：要求f（1999）的值，我们肯定要利用函数的周期性，故关键我们要探究函数的周期，由f（x）=f（x-1）+f（x+1），变形后得：f（x+1）=f（x）-f（x-1），则f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）=-f（x+3）=-（f（x+2）-f（x+1））=-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））=f（x），即函数的最小正周期为T，由此易得f（1999）的值．

解答：解：∵f（x）=f（x-1）+f（x+1），
∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
∴f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）
=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）
=-f（x+3）
=-（f（x+2）-f（x+1））
=-（f（x+1）-f（x）-f（x+1））
=f（x）
即f（x）为周期为6的周期函数
则f（1999）=f（3×666+1）=f（1）=1999
故答案为：1999

点评：我们要求抽象函数的函数值，而自变量均大时，一般我们要用到函数的周期性，求函数的最小正周期是解题的关键．