Question

17、设a∈R且a≠2，函数f（x）=e^x（x²-ax+a）．
（1）求f'（0）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）首先求出f′（x），然后令x=0求出f′（0）的值，
（2）首先求出函数的导数，令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（e^x）′（x²-ax+a）+e^x（x²-ax+a）′
=e^x（x²-ax+a）+e^x（2x-a）
=e^x[x²-（a-2）x]
=e^xx[x-（a-2）]
∴f′（0）=0，
（Ⅱ）令f′（x）=0，
解得x₁=0，x₂=a-2，
∵函数f（x）定义域为R，且对任意x∈R，e^x＞0，
∴当a-2＞0，即a＞2时，

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（a-2，+∞），单调递减区间是（0，a-2）．
当a-2＜0，即a＜2时，

所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2）∪（0，+∞），单调递减区间是（a-2，0）．
综上，当a＞2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）∪（a-2，+∞），单调递减区间是（0，a-2），
当a＜2时，f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2）∪（0，+∞），单调递减区间是（a-2，0）．

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，需要掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系．