Question

【题目】已知动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣ ． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F（﹣ ，0）的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设P（x，y），由 ，得 ，整理得： ．
∴曲线C的方程为 ；
（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：x=my﹣ ，代入椭圆方程整理得（m2+4）y2﹣ my﹣1=0，
△=12m2+4m2+16=16m2+16＞0，
则 ，①
假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，
其充要条件为 ，则点E的坐标为（x1+x2 ， y1+y2）．
由点E在椭圆上，即 ，
整理得 ．
又M，N在椭圆上，即 ，
故x1x2+4y1y2=﹣2，②
又 = ，
将①②代入上式解得m=±
即直线l的方程是：x=± y+1，
即 ．
【解析】（Ⅰ）设出P的坐标，由 化简整理可得曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x=my﹣ ，代入椭圆方程整理得（m2+4）y2﹣ my﹣1=0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为 ，则点E的坐标为（x1+x2 ， y1+y2）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．