Question

如图所示：图1是定义在R上的二次函数f（x）的部分图象，图2是函数g（x）＝log_a（x＋b）的部分图象．

⑴分别求出函数f（x）和g（x）的解析式；

⑵如果函数y＝g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

解：⑴由题图1得，二次函数f（x）的顶点坐标为（1,2），

故可设函数f（x）＝a（x－1）²＋2，

又函数f（x）的图象过点（0,0），

故a＝－2，整理得f（x）＝－2x²＋4x．                                （3分）

由题图2得，函数g（x）＝log_a（x＋b）的图象过点（0,0）和（1,1），

故有∴

∴g（x）＝log₂（x＋1）（x>－1）．          （6分）

⑵由⑴得y＝g（f（x））＝log₂（－2x²＋4x＋1）是由y＝log₂t和t＝－2x²＋4x＋1复合而成的函数，而y＝log₂t在定义域上单调递增，要使函数y＝g（f（x））在区间[1，m）上单调递减，必须t＝－2x²＋4x＋1在区间[1，m）上单调递减，且有t>0恒成立                                                                                                                            （9分）

由t＝0得x＝，又t的图象的对称轴为x＝1．

所以满足条件的m的取值范围为1<m<．      （12分）