题目内容

若f（x）为R上的偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（-3）=0，则（x-1）f（x）＜0的解集为
（-3，0）∪（1，3）
（-3，0）∪（1，3）
．
分析：由题意可得，函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，且f（3）=f（-3）=0，画出函数f（x）的单调性示意图，数形结合可得不等式的解集．
解答：解：由题意可得，函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，
且f（3）=f（-3）=0，
函数f（x）的单调性示意图，如图所示：
故由（x-1）f（x）＜0，
可得 ①
x＞1
f(x)＜0
，②
x＜1
f(x)＞0
．
由①可得 1＜x＜3，解②可得-3＜x＜0，
故不等式的解集为 （-3，0）∪（1，3），
故答案为 （-3，0）∪（1，3）．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）是R上的可导函数．
（1）f（-x）在x=a处的导数值与f（x）在x=-a处的导数值有什么关系？
（2）若f（x）为偶函数，f′（x）的奇偶性如何？
已知定义域为R的函数f(x)=
1
2x+1
-
1
2
．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．
已知f（x）为R上不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=2，g（n）=f（2n）（n∈N），求g（n）．
已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数y=f（x）是R上的单调性；
（2）讨论函数y=f（x）的奇偶性；
（3）若f（x2-2）+f（x）＜0，求x的取值范围．
已知定义域为R的函数f(x)=
1
2x+1
-
1
2
．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

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