Question

如图，两海上航线相交于岛A，若已知AB=100海里，甲渔船从A岛撤离，沿AC方向以50海里/小时的速度行驶，同时乙巡航船从B码头出发，沿BA方向以v海里/小时的速度行驶，至A岛即停止前行（甲船仍继续行驶）（两船的船长忽略不计），
（1）求甲、乙两船的最近距离（用含v的式子表示）；
（2）若甲、乙两船开始行驶到甲、乙两船相距最近时所用时间为t₀小时，问v为何值时t₀最大？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理，结合甲、乙两船的行驶路程，可得二次函数，从而可得函数的最值，即甲、乙两船的最近距离；
（2）利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）设甲、乙两船的距离为d，则
d²=（100-vt）²+（50t）²=（v²+2500）t²-200vt+10000（0≤t≤

100

v

）
∵0＜

100v

v2+2500

＜

100

v

，
∴当t=

100v

v2+2500

时，dmin=

5000

v2+2500

，
即甲、乙两船的最近距离是

5000

v2+2500

海里；
（2）甲、乙两船相距最近时，t=

100v

v2+2500

=

100

v+ 2500 v

≤1，此时v=50海里/小时
即当船速v=50海里/小时，甲、乙两船相距最近，所用时间t₀最大，最大值为1小时．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．