Question

如图，三棱锥P―ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB。

   （1）求证：AB⊥平面PCB；

   （2）求异面直线AP与BC所成角的大小；

   （3）求二面角C―PA―B的大小。     

Answer 1

解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，

∴PC⊥AB。

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，

∴OC⊥AB。

又PCCD=C，

∴AB平面PCB。

（2）过点A作AF//BC，且AF=BC，连接PF，CF。

 

则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角。

由（1）可得AB⊥BC,

∴CF⊥AF.

由三垂线定理，得PF⊥AF。

则AF=CF=

在Rt△PFA中，

∴异面直线PA与BC所成的角为

（3）取AP的中点E，连接CE、DE。

∵PC=AC=2，

∴CE⊥PA，CE=。

∵CD⊥平面PAB。

由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA。

∴∠CED为二面角C―PA―B的平面角。

由（1）AB⊥平面PCB，

又∵AB=BC，可求得BC=

在Rt△PCB中，PB=

在Rt△CDE中，

解法二：（1）同解法一。

（2）由（1）AB⊥平面PCB，

∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=

以B为原点，建立如图所示的坐标系。

则A（0，，0），B（0，0，0），

C（，0，0），P（，0，2）。

则

∴异面直线AP与BC所成的角为

（3）设平面PAB的法向量为

则即

解得

令z=－1，得

设平面PAC的法向量为

则

解得

令