Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若a=1，b_n=

n

an+1-an

，{b_n}的前n项和为T_n已知M＞T_n，M∈N^*，求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，由S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*可得S_n=2S_n-1+n．两式相减可得a_n+1=2a_n+1．
变形为a_n+1+1=2（a_n+1），于是当n≥2且a≠-3时，数列{a_n+1}是等比数列，即可得到a_n．
（2）利用（1）和“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）当n≥2时，由S_n+1=2S_n+n+1，n∈N^*可得S_n=2S_n-1+n．
∴a_n+1=2a_n+1．
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴当n≥2且a≠-3时，数列{a_n+1}是从第2项开始的等比数列．
a₂=a+2．
∴an+1=(a+3)•2n-2，
∴an=(a+3)•2n-2-1．
而a₁=a不满足上式．
当a=-3时，a₁=-3；当n≥2时，a_n=-1
∴an=

a，n=1 (a+3)•2n-2-1，n≥2

．
（2）由a₁=a=1得a_n=2ⁿ-1（n∈N^*），则bn=

n

2n+1-1-(2n-1)

=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
2T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
两式相减可得T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

＜2．
∴M的最小值是2．

点评：本题考查了利用“n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，考查了通过灵活变形转化为已经学过的有关知识解决问题的能力，属于难题．