Question

求实数a,使下列等式对一切正整数n都成立:.

Answer 1

思路分析:对于此类型的题目,一般先使用不完全归纳法取n的特殊值,探求出待定系数再用数学归纳法证之.由于只有一个待定量,故只需取一个特殊值求a.

解:令n=1,得.∴a=3.

下面用数学归纳法证明:

(1)当n=1时,已证.

(2)假设n=k时,命题成立,即

.

则n=k+1时,左边=+

=

所以,当n=k+1时命题也成立.

由(1)(2)可知当a=3时,等式对任意的n∈N^*均成立.