Question

（2012•武昌区模拟）已知x，a∈R，a＞1，直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，则a=

e

1

e

；公共点坐标是

（a，e）

．

Answer 1

分析：构造新函数g（x）=log_ax-x，求导函数，确定函数的单调性与最大值，利用直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，即可求得结论．

解答：解：构造新函数g（x）=log_ax-x，g′（x）=

1

xlna

-1，
令

1

xlna

-1=0，有x=

1

lna

，
因为a＞1，当0＜x＜

1

lna

时，g′（x）＞0；当x＞

1

lna

时，g′（x）＜0
所以，g（x）=log_ax-x在x=

1

lna

处有最大值g（

1

lna

），
当g（

1

lna

）时，直线y=x与函数f（x）=log_ax有且仅有一个公共点，即log_a（

1

lna

）=

1

lna

，
∴ln（lna）=-1，lna=

1

e

，∴a=e

1

e

则y=

1

lne 1 e

=e，即公共点坐标是（a，e），
故答案为：e

1

e

，（a，e）．

点评：本题考查导数和函数零点等知识解决问题的能力，考查学生创新意识、运用数学知识解决问题的能力和计算能力．