Question

已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.

(1)若a=2,求出A中其他所有元素.

(2)0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.

(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.

Answer 1

解析：(1)由2∈A,得=-3∈A.

又由-3∈A，得∈A.

再由-∈A，得∈A.

而∈A时，=2∈A.

故A中元素为2，-3，-，.

(2)0不是A的元素.若0∈A，则=1∈A，而当1∈A时，不存在，故0不是A的元素.

取a=3,可得A={3,-2,-}.

(3)猜想：①A中没有元素-1，0，1；

②A中有4个元素，且每两个互为负倒数.

证明：①由上题，0、1A，若0∈A，则由=0,得a=-1.

而当=-1时，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.

②设a₁∈A,则a₁∈Aa₂=∈Aa₃==-∈Aa₄==∈Aa₅==a₁∈A.

又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素：a₁,a₂,a₃,a₄,且a₁a₃=-1,a₂a₄=-1,显然a₁≠a₃,a₂≠a₄.

若a₁=a₂,即a₁=，得a₁²+1=0,

此方程无解；同理，若a₁=a₄,即a₁=,此方程也无实数解.

故a₁≠a₂,a₁≠a₄.∴A中有4个元素.