Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，B=$\frac{π}{3}$，cosA=$\frac{4}{5}$，b=$\sqrt{3}$．
（1）求sinC的值；
（2）求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）运用诱导公式和两角和的正弦公式，计算即可得到所求；
（2）由正弦定理可得c，再由向量的数量积的定义，计算即可得到所求．

解答 解：（1）sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$；
（2）由正弦定理，可得
c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{3+4\sqrt{3}}{10}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{5}$，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=cbcosA=$\frac{3+4\sqrt{3}}{5}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{12\sqrt{3}+48}{25}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．