题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量 $数学公式$ =（a， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cosC，c-2b），且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．可知： $\text{[math]}$ ，
即acosC+ $\text{[math]}$ =b，得sinAcosC+ $\text{[math]}$ sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴ $\text{[math]}$ ，∵sinC≠0，∴cosA= $\text{[math]}$ ．
又0＜A＜π∴A= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由正弦定理得：b= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
l=a+b+c=1+ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$
=1+2（ $\text{[math]}$ ）
=1+2sin（B+ $\text{[math]}$ ）．
∵A= $\text{[math]}$ ．
∴B∈ $\text{[math]}$ ，∴B+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴sin（B+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ．
故△ABC的周长l的范围为（2，3]．
分析：（Ⅰ）利用向量的垂直，推出数量积为0，通过三角形内角和以及两角和的正弦函数，确定角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表达式，通过三角形的内角和以及两角和的正弦函数化简表达式，根据角的范围，确定三角函数的范围，然后求△ABC的周长l的取值范围．
点评：本题考查正弦定理，两角和的正弦函数，向量的数量积等知识的应用，考查计算能力．