Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D为CC₁的中点，

CC1

AC

=λ
（1）λ为何值时，A₁D⊥平面ABD；
（2）当A₁D⊥平面ABD时，求C₁到平面ABD的距离；
（3）当二面角A-BD-C为60°时，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以

AB

，

AC

，

AA1

为正交基底建立空间直角坐标系，根据

CC1

AC

=λ，分别求出向量

A1D

，

AD

的坐标，再根据A₁D⊥平面ABD，则A₁D⊥AD，则

A1D

•

AD

=0，可构造一个关于λ的方程，解方程即可得到满足条件的λ值．
（2）由（1）的结论，我们易得到向量

A1D

，

AD

的坐标，代入C₁到平面ABD的距离公式d=|

C1D • A1D

| A1D |

|，即可得到C₁到平面ABD的距离；
（3）取BC中点E，连接AE，可得

AE

为平面BCD的一个法向量，再求出平面ABD的一个法向量，根据二面角A-BD-C为60°，构造关于λ的方程，解方程即可得到满足条件的λ的值．

解答：解：以

AB

，

AC

，

AA1

为正交基底建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，λa)，D(0，a，

1

2

λa)，A1（0，0，λa）
（1）

A1D

=(0，a，-

λa

2

)，

AD

=(0，a，

λa

2

)
∵A₁D⊥平面ABD∴A₁D⊥AD
∴0+a²-

λ2a2

4

=0有λ=2
（2）λ=2时，

C1D

=(0，0，-a)，

A1D

=（0，a，-a）
∴C1到平面ABD的距离d=|

C1D • A1D

| A1D |

|=

2

2

a
（3）取BC中点E，连接AE，则AE⊥BC，又BB₁⊥AE∴AE⊥平面BCD

AE

=(

a

2

，

a

2

，0)，设

m

=(x，y，z)为平面ABD的一个法向量
由  

m • AB =0 m • AD =0

得  

x=0 y=- λz 2

取z=1得

m

=(0，-

λ

2

，1)，由cos60°=|

m • AE

| m |•| AE |

|得λ=2

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离计算，二面角的平面角及求法，其中建立空间坐标系，将空间直线与平面的平行、垂直、夹角问题转化为向量的平行、垂直、夹角问题是解答此类问题的关键．