Question

已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足-（y+1-lnx）+=，（O不在直线l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，∞]上为增函数，求a的范围；
（3）当a=1时，求证lnn＞+，对n≥2的正整数n成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）将条件变形，利用A，B，C三点共线，可得（y+1-lnx）-=1，从而可得结论；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，即可求a的范围；
（3）先证明lnx≥1-，再将x用替代，即可证得结论．
解答：（1）解：∵-（y+1-lnx）+=，
∴=（y+1-lnx）-，
∵A，B，C三点共线
∴（y+1-lnx）-=1
∴y=lnx+；
（2）解：f（x）=lnx+，∴f′（x）=
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴≥0在[1，+∞）上恒成立
∴
∵，∴a≥1；
（3）证明：当a=1时，f（x）=lnx+-1
由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0
∴lnx≥1-（当且仅当x=1时取“=”）
将x用替代得ln＞1-=
∴ln+ln+…+ln＞+
∴lnn＞+
点评：本题考查向量知识的运用，考查三点共线，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．