Question

如图所示，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点.

(1)求证：B₁C∥平面A₁BD；

(2)求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁;

(3)设E是CC₁上一点，试确定E的位置，使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由.

Answer 1

(1)证明:如图，连结AB₁与A₁B相交于M,

则M为A₁B的中点.连结MD，则D为AC的中点.

∴B₁C∥MD.又B₁C平面A₁BD,∴B₁C∥平面A₁BD.

(2)证明:∵AB=B₁B,∴四边形ABB₁A₁为正方形.

∴A₁B⊥AB₁.又∵AC₁⊥面A₁BD,∴AC₁⊥A₁B.∴A₁B⊥面AB₁C₁.

∴A₁B⊥B₁C₁.

又在直棱柱ABC—A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁,∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁.

(3)解:当点E为C₁C的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE,

∵D、E分别为AC、C₁C的中点,∴DE∥AC₁.∵AC₁⊥平面A₁BD,∴DE⊥平面A₁BD.又DE平面BDE,∴平面A₁BD⊥平面BDE.