Question

已知函数f(x)=

a-x

x

lnx．
（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意的x∈(0，

1

e

]，都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，先求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（2）本题属于恒成立问题，转化为函数最值问题，利用导数求出最值即可求得．

解答：解：（1）当a=1时，f(x)=

1-x

x

lnx，其定义域为（0，+∞）．
f′（x）=

1-lnx

x2

-

1

x

=

1-lnx-x

x2

．
设g（x）=1-x-lnx（x＞0），则g′（x）=-1-

1

x

＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又g（1）=0，于是x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0．
所以f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞）．
（2）由f（x）＜-2可得

a-x

x

lnx＜-2，由于x∈(0，

1

e

]，则lnx＜0，于是a＞x-

2x

lnx

．
令h(x)=x-

2x

lnx

，则h′（x）=1-

2lnx-2

ln2x

=

(lnx-1)2+1

ln2x

，当x∈（0，

1

e

）时，h′（x）＞0，
于是h（x）在(0，

1

e

)上单调递增，因此h（x）在(0，

1

e

]上的最大值为h(

1

e

)=

3

e

，
因此要使f（x）＜-2恒成立，应有a＞

3

e

．
故实数a的取值范围是(

3

e

，+∞)．

点评：本题考查了如何利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题是解决不等式恒成立的常用方法．