Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下求二面角B-PC-D的余弦值的绝对值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明PA⊥CE，CE⊥AD，利用线面垂直的判定，可得CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）确定四边形ABCE为矩形，利用S_ABCD=S_ABCE+S_△ECD，PA⊥平面ABCD，PA=1，可得四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）建立以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的空间坐标系，求出平面PBC的法向量

n1

=（1，0，1），平面PCD的法向量为

n2

=（1，1，3），利用向量的夹角公式，可求二面角的余弦值的绝对值．

解答：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD…．（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CE⊥AD，在直角三角形ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1．
又因为AB=CE=1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形，
所以S_ABCD=S_ABCE+S_△ECD=AB•AE+

1

2

CE•DE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

，
又PA⊥平面ABCD，PA=1，所以四棱锥P-ABCD的体积等于

1

3

SABCD•PA=

1

3

×

5

2

×1=

5

6

…（7分）
（Ⅲ）解：建立以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的空间坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0）
∴

PC

=(1，2，-1)，

PD

=(0，3，-1)，

PB

=(1，0，-1)
设平面PBC的法向量为

n1

=（x，y，1），则

x+2y-1=0 x-1=0

，∴x=1，y=0，∴

n1

=（1，0，1），
设平面PCD的法向量为

n2

=（1，y′，z′），则

1+2y′-z′=0 3y′-z′=0

，∴y′=1，z′=3，∴

n2

=（1，1，3），
所以二面角的余弦值的绝对值是

1+3

2 × 11

2 22

11

…．（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查四棱锥的条件，考查向量方法的运用，属于中档题．