Question

6．设二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$的取值范围是$\frac{1}{2}≤u≤\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（1）≤4，求得4≤a+c≤8由题意可知，a＞0，△=0，从而求出ac=4，将所求式子中的4代换成ac，利用裂项法进行整理，进而利用函数的单调性求得$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$的最大值．

解答 解：f（x）的值域为[0，+∞），故 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-4）^{2}-4ac=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{ac=4}\end{array}\right.$，
a+c≥2$\sqrt{ac}$=4，
又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8，$u=\frac{a}{{{c^2}+4}}+\frac{c}{{{a^2}+4}}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac（a+c）}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac}{ac（a+c）}$=$\frac{a+c}{4}$$-\frac{2}{a+c}$，
t=$\frac{a+c}{4}$，$\frac{2}{a+c}$=$\frac{1}{2t}$，1≤t≤2，
由y=t-$\frac{1}{2t}$的单调性，u_max=$\frac{7}{4}$，u_min=1$-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}≤u≤\frac{7}{4}$

点评 利用基本不等式求函数最值是最值考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意数形结合思想的运用．换元法转化为常见的函数，利用单调性求解是中档题