题目内容

若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（ ）
A．-1
B．
C．
D．
【答案】分析：函数y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为（1+sinx）（1+cosx）-1，由基本不等式可得y≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]-1，当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=，进而得到答案．
解答：解：y=sinx+cosx+sinxcosx
=sinx（1+cosx）+1+cosx-1
=（1+sinx）（1+cosx）-1
≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]-1
（当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=）
即y（max）=+
故选D
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为（1+sinx）（1+cosx）-1，为基本不等式的使用创造条件，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
①f（x）=
x
；    ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，求M的最小值．
（2006•黄浦区二模）设a为正数，直角坐标平面内的点集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三边长}．
（1）画出A所表示的平面区域；
（2）在平面直角坐标系中，规定a∈Z，且y∈Z时，（x，y）称为格点，当a=8时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；
（3）点集A连同它的边界构成的区域记为
.
A
，若圆{(x，y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆
.
A
(r＞0)，求r的最大值．
①命题“有的三角形是直角三角形”的否定为“所有的三角形都不是直角三角形”；②若关于x的不等式ax2-2x-1＜0在[1，+∞）内有解，则实数a的取值范围是（-∞，3）；③已知函数f（x）=sin（2x+θ）（θ∈R），且对任意的x∈R，f(
π
2
-x)=-f(x)，则sin（2θ）=0；④函数f(x)=cosx+
1
cosx
在(0，
π
2
)内的最小值为2．其中正确的命题的序号为
 
．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=
4
4
．
B． P为曲线C1：
x=1+cosθ
y=sinθ
，（θ为参数）上一点，则它到直线C2：
x=1+2t
y=2
（t为参数）距离的最小值为
1
1
．
C．不等式|x2-3x-4|＞x+1的解集为
{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
{x|x＞5或x＜-1或-1＜x＜3}
．

.如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.

（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：

①  f(x)＝ ；    ②  g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.

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