题目内容
已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，则f（2011）等于
- A.2011
- B.2
- C.-1
- D.-2
D
分析：根据条件求出f（2）的值，然后得到f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的函数，又f（1）=2，从而求出f（2011）．
解答：∵对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2）=-f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，又f（1）=2，
∴f（2011）=f（4×503-1）=f（-1）=-f（1）=-2．
故选D．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及抽象函数及其应用，解题的关键是求出f（x+4）=f（x），属于中档题．
分析：根据条件求出f（2）的值，然后得到f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的函数，又f（1）=2，从而求出f（2011）．
解答：∵对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2）=-f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，又f（1）=2，
∴f（2011）=f（4×503-1）=f（-1）=-f（1）=-2．
故选D．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及抽象函数及其应用，解题的关键是求出f（x+4）=f（x），属于中档题．
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