Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有，且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）若，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若，试解关于x的方程．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，
∴f（0）=0，令y=-x，有f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）为奇函数
（2）∵，
即，
解得．
（3）任间区间（-1，1）上两个数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0
∴＜0
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=F（）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∵
原方程即为，
∴
又∵
故原方程的解为．
分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，令y=-x，根据函数奇偶性的定义，可判断f（x）的奇偶性
（2）由已知可得，解方程组可得f（a），f（b）的值．
（3）先根据已知证明函数的单调性，结合（1）中函数的奇偶性，将抽象方程具体化，进而可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，抽象函数，难度中档．