Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁=-3，则(

1

8

)Sn的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得数列的公差和首项，进而可得通项公式，可得当n=5时，S_n取最小值，可得所求．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=0，S₁=a₁=-3
联立两式解得a₁=-3，d=

2

3

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-3+

2

3

（n-1）=

2n-11

3

，
令a_n=

2n-11

3

≥0可得n≥

11

2

，
∴等差数列{a_n}的前5项为负数，从第6项开始为正数，
∴当n=5时，S_n取最小值为5（-3）+

5×4

2

×

2

3

=-

25

3

∴(

1

8

)Sn的最大值为(

1

8

)-

25

3

=(2-3)-

25

3

=2²⁵
故答案为：2²⁵

点评：本题考查等差数列的前n项和的最值，涉及指数函数的应用，求出S_n的最小值是解决问题的关键，属中档题．