Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，求实数m的取值范围；
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）设二次函数f（x）的解析式，代入f（x+1）-f（x）=2x和f（0）=1，可求a、b、c的值；
（2）x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，即x²-3x+1=m在x∈[-1，1]上有解；求出g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]的值域即是m的取值范围；
（3）由g（t）=f（2t+a）是二次函数，图象是抛物线，对称轴是x=

1-2a

4

，讨论对称轴在闭区间[-1，1]的左侧还是右侧，从而确定函数的最值问题．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
代入f（x+1）-f（x）=2x和f（0）=1，
得

a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2x c=1

，化简得

2ax+a+b=2x(x∈R) c=1

；
∴a=1，b=-1，c=1，∴f（x）的解析式为f（x）=x²-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，方程f（x）=2x+m有解，
即方程x²-3x+1=m在x∈[-1，1]上有解；
令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，则g（x）的值域是[-1，5]，
所以，m的取值范围是[-1，5]；
（3）∵g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]；
对称轴是x=

1-2a

4

，
∴①当

1-2a

4

≥0，即a≤

1

2

时，
g（t）_max=g（-1）=4-（4a-2）+a²-a+1=a²-5a+7；
②当

1-2a

4

＜0，即a＞

1

2

时，
g（t）_max=g（1）=4+（4a-2）+a²-a+1=a²+3a+3；
综上所述，g（t）_max=

a2-5a+7   …a≤ 1 2 a2+3a+3   …a＞ 1 2

．

点评：本题考查了求二次函数的解析式与二次函数在闭区间上的最值问题，其中（1）是基础题（2）是中档题（3）是难题．